【什么是负二项分布】负二项分布是概率论中一种重要的离散概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，直到第 r 次成功 时所需的 失败次数 的概率分布。它与二项分布类似，但关注点不同：二项分布关注的是在固定次数的试验中成功次数的概率，而负二项分布则关注的是在达到固定成功次数之前所需失败次数的概率。
负二项分布常用于实际问题中，如研究某事件发生前的失败次数、产品寿命测试、保险理赔分析等。其灵活性使其在统计学和数据分析中具有广泛的应用价值。
负二项分布的核心概念总结
| 概念 | 内容说明 |
| 定义 | 负二项分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，直到第 r 次成功时所经历的失败次数的概率分布。 |
| 参数 | 通常由两个参数决定：成功次数 r 和每次试验的成功概率 p。 |
| 应用场景 | 常用于研究“在达到一定成功次数前的失败次数”问题，例如销售尝试、实验重复等。 |
| 与二项分布的区别 | 二项分布关注固定试验次数下的成功次数；负二项分布关注达到固定成功次数所需的试验次数或失败次数。 |
$$ P(X = k) = \binom{k + r - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^k $$
其中，k 表示失败次数，r 为成功次数，p 为每次试验的成功概率。
负二项分布的特点
- 非负整数支持：X 可以取 0, 1, 2, ... 等非负整数值。
- 连续性：当 r 为整数时，称为“帕斯卡分布”，当 r 为实数时，可扩展为广义负二项分布。
- 期望值：E(X) = $ \frac{r(1-p)}{p} $
- 方差：Var(X) = $ \frac{r(1-p)}{p^2} $
示例说明
假设某销售人员每次拜访客户成功的概率为 0.3，那么他要找到 3 次成功 的客户，需要进行多少次失败的拜访？
这个问题可以用负二项分布来建模，其中：
- r = 3（成功次数）
- p = 0.3（成功概率）
计算他在第 5 次拜访时才获得第 3 次成功的概率，即失败次数为 2 次时的概率。
$$ P(X = 2) = \binom{2 + 3 - 1}{3 - 1} \times 0.3^3 \times 0.7^2 = \binom{4}{2} \times 0.027 \times 0.49 = 6 \times 0.01323 = 0.07938 $$
这表示他可能需要 2 次失败后才能成功 3 次的概率约为 7.9%。
总结
负二项分布是一种描述在多次独立试验中，达到固定成功次数前所需失败次数的概率模型。它在实际问题中具有重要应用价值，尤其适用于那些关注“何时达成目标”的场景。通过理解其定义、公式和特点，可以更好地应用于统计分析与实际决策中。
