sin 和 cos 华里士公式也常叫做点火公式，专门用来快速计算区间 0 到二分之 π 上 sin 的 n 次方还有 cos 的 n 次方定积分，在这个固定区间里面，sinⁿx 和 cosⁿx 的积分结果完全相等，不需要分别推导，这是华里士公式最核心的特点。之所以会有这个结论，是因为 0 到二分之 π 区间里面，cosx 等于 sin (二分之 π 减 x)，通过换元可以证明两者积分值一样，这个公式来源于之前学习的递推式，把递推不断降阶之后，整理成连乘形式，省去每次分部积分的麻烦，是高数和考研数学非常高频的速算工具。使用这个公式最关键是区分 n 是奇数还是偶数，两种连乘写法不一样，偶数最后要乘二分之 π，奇数最后乘到 1 就结束，很多同学出错就是奇偶混淆，忘记偶数末尾的 π/2，或者连乘项数算错。注意华里士公式有严格区间限制，只能直接用在 0 到二分之 π，如果积分区间是 0 到 π 或者 0 到 2π，要利用对称性转化之后再套用，不能直接原样代入。

华里士公式核心表达式

记 Jn = ∫(0 到 π/2) sinⁿx dx = ∫(0 到 π/2) cosⁿx dx

当 n 为偶数 n=2k

Jn = (n 减 1)/n × (n 减 3)/(n 减 2) × … × 1/2 × π/2

当 n 为奇数 n=2k+1

Jn = (n 减 1)/n × (n 减 3)/(n 减 2) × … × 2/3 × 1

计算示例

例子 1 n 等于 4 偶数

J4 = 3/4 × 1/2 × π/2 = 3π/16

例子 2 n 等于 3 奇数

J3 = 2/3 × 1 = 2/3

sin 和 cos 华里士公式对照表

区间拓展换算方法

1 区间 0 到 π

sinⁿx 在 0 到 π 积分等于两倍 0 到二分之 π 的 Jn

cosⁿx 在 0 到 π 要注意，n 是奇数的时候正负抵消，积分等于 0，n 偶数才等于两倍 Jn

2 区间 0 到 2π

sinⁿx 和 cosⁿx，n 奇数积分等于 0，n 偶数等于四倍 Jn

使用华里士公式实操步骤

1 确认积分区间是不是 0 到二分之 π，不是的话优先利用对称变换

2 判断幂次 n 是奇数还是偶数

3 按照连乘规则逐项相乘

4 如果是偶数，最后不要漏掉 π/2

5 核对连乘项数，避免多乘或者少乘一项

补充原理说明

华里士公式本质就是 sinⁿx 积分递推式 Jn=(n 减 1)/n × Jn 减 2，反复递推降阶，一直降到 n=0 或者 n=1，n=0 的时候 J0=π/2，n=1 的时候 J1=1，最终整理成连乘形式，cosⁿx 因为换元等价，所以共用这一套公式。

【常见问题】

问题 1 sin 和 cos 华里士公式，为什么 sinⁿx 和 cosⁿx 积分结果相等

回答 1 sin 和 cos 华里士公式里面，在 0 到二分之 π 区间，通过换元 t 等于二分之 π 减 x，可以证明 sinⁿx 和 cosⁿx 定积分数值相等，所以二者共用同一套连乘计算公式。

问题 2 sin 和 cos 华里士公式，n 是奇数的时候要不要乘 π/2

回答 1 sin 和 cos 华里士公式里面，只有 n 为偶数的时候末尾才需要乘以 π/2，n 是奇数递推最终落到 J1 等于 1，不需要额外乘 π/2，这是最容易出错的点。

问题 3 sin 和 cos 华里士公式，能不能直接在 0 到 π 区间套用

回答 3 sin 和 cos 华里士公式不能直接原样套用在 0 到 π 区间，需要利用对称性换算，cos 的奇次幂在 0 到 π 积分正负抵消结果为 0，只有偶数幂才可以转化成两倍 Jn 计算。

【免责申明】

本内容仅用于高等数学定积分学习参考，华里士公式适用范围限定幂次积分，被积函数如果带系数复合变形，不能直接套用本公式，计算结果请自行核验。