【微分计算公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。微分计算公式是进行微分运算的基础，掌握这些公式有助于快速求解导数问题。以下是对常见微分计算公式的总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本微分公式
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
若 $ f(x) = e^x $，则
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
若 $ f(x) = \ln x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \frac{d}{dx} \text{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} $
二、微分运算法则
| 运算规则 | 公式 | 说明 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ | 函数和或差的导数等于导数的和或差 |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
三、常见函数的微分公式汇总表
| 函数表达式 | 导数 | 说明 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ | 常数函数导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | 幂函数导数公式 |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ | 自然指数函数导数 |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ | 指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | 自然对数导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | 正弦函数导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ | 余弦函数导数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ | 正切函数导数 |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 反正弦函数导数 |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数导数 |
四、结语
微分计算是高等数学中的核心内容之一，熟练掌握各类函数的微分公式及运算法则是解决实际问题的关键。通过对上述公式的系统学习和应用，可以有效提升对函数变化规律的理解能力，为后续更复杂的数学分析打下坚实基础。
