在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的内容模块，尤其是在高一阶段，学生开始接触正弦、余弦、正切等基本的三角函数概念及其相关公式。掌握好这些公式不仅有助于理解三角函数的基本性质，也为后续学习三角函数图像、周期性、诱导公式以及解三角形等内容打下坚实的基础。
下面是对高一数学中常见的三角函数公式的系统整理与简要说明，帮助同学们更好地理解和记忆。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、同角三角函数关系式
1. 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
2. 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒数关系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
三、诱导公式（用于求任意角的三角函数值）
诱导公式是将任意角转化为0°~360°之间角的工具，常见类型如下：
| 角度 | 公式 |
|------|------|
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα, cos(α + 2π) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
1. sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
2. cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
3. tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
五、倍角公式
1. sin2α = 2sinα cosα
2. cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
3. tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
六、半角公式
1. sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα)
七、积化和差与和差化积公式（选学内容）
1. sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
2. cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
3. sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
4. sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
5. sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
6. cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
7. cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
八、三角函数的图像与性质（简要总结）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调性 |
|------|--------|------|------|--------|--------|
| sinx | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 | 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]上递增 |
| cosx | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 | 在[2kπ, π + 2kπ]上递减 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 | 在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)上递增 |
总结
三角函数公式繁多，但它们之间存在紧密的联系，掌握好这些公式不仅能提高解题效率，还能增强对三角函数整体结构的理解。建议同学们在学习过程中注重公式的推导过程，并结合图形加深记忆。同时，多做练习题，灵活运用这些公式，才能真正掌握这一部分内容。
如果你正在为高一数学中的三角函数部分发愁，不妨从今天开始，逐步整理并熟练掌握这些公式，相信你会在考试中取得理想的成绩！
