【怎么求点到平面的距离】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题。掌握这一知识点不仅有助于解决数学题，也广泛应用于工程、物理和计算机图形学等领域。本文将总结点到平面距离的求法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的公式与步骤。

一、基本概念

- 点：空间中的一个坐标（x₀, y₀, z₀）

- 平面：由一般式表示为 Ax + By + Cz + D = 0

- 点到平面的距离：指从该点向平面作垂线段的长度

二、求点到平面距离的方法

方法一：使用点到平面的一般公式

若已知点 P(x₀, y₀, z₀)，平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，则点 P 到该平面的距离公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

方法二：利用向量法（点法式）

如果已知平面上一点 M(x₁, y₁, z₁) 和该平面的法向量 n = (A, B, C)，则点 P(x₀, y₀, z₀) 到平面的距离可表示为：

$$

d = \frac{\vec{PM} \cdot \vec{n}}{\vec{n}}

$$

其中，$\vec{PM} = (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁)$

三、公式对比表

四、实际应用示例

假设点 P(1, 2, 3)，平面方程为 2x + 3y - z + 4 = 0，求点 P 到该平面的距离。

代入公式：

$$

d = \frac{2×1 + 3×2 - 1×3 + 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{2 + 6 - 3 + 4}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{14}}

$$

五、注意事项

- 平面方程必须是标准形式（Ax + By + Cz + D = 0），否则需要先化简。

- 法向量的方向不影响距离的大小，只影响方向。

- 距离始终为非负数，因此结果要取绝对值。

通过上述方法，我们可以快速准确地求出点到平面的距离。掌握这些方法不仅能提升解题效率，还能加深对三维几何的理解。