【求证 等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数(用数学】在解析几何中，等轴双曲线是一种特殊的双曲线，其标准方程为 $ x^2 - y^2 = a^2 $ 或 $ y^2 - x^2 = a^2 $，其中 $ a > 0 $。它的两条渐近线分别为 $ y = x $ 和 $ y = -x $。

本文将通过数学推导证明：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是一个常数。

一、推导过程

设点 $ P(x, y) $ 是等轴双曲线 $ x^2 - y^2 = a^2 $ 上的任意一点。

1. 求点 P 到渐近线 $ y = x $ 的距离：

渐近线 $ y = x $ 可以写成 $ x - y = 0 $。

点到直线的距离公式为：

$$

d_1 = \frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{x - y}{\sqrt{2}}

$$

2. 求点 P 到渐近线 $ y = -x $ 的距离：

渐近线 $ y = -x $ 可以写成 $ x + y = 0 $。

同样应用点到直线的距离公式：

$$

d_2 = \frac{x + y}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{x + y}{\sqrt{2}}

$$

3. 计算两距离之积：

$$

d_1 \cdot d_2 = \frac{x - y}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x + y}{\sqrt{2}} = \frac{(x - y)(x + y)}{2} = \frac{x^2 - y^2}{2}

$$

4. 利用双曲线方程代入：

因为 $ P(x, y) $ 在双曲线上，满足 $ x^2 - y^2 = a^2 $，所以：

$$

d_1 \cdot d_2 = \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}

$$

因此，等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为常数 $ \frac{a^2}{2} $。

二、总结与表格展示

三、结论

通过上述推导可知，在等轴双曲线中，无论点 $ P $ 在何处，只要它在该双曲线上，那么它到两条渐近线的距离之积始终为一个常数 $ \frac{a^2}{2} $。这一性质体现了等轴双曲线的对称性与数学美感，也展示了解析几何中几何与代数结合的魅力。