【复合导数公式】在微积分中，复合函数的求导是一个重要的内容。当一个函数由两个或多个函数复合而成时，我们需要使用链式法则（Chain Rule）来求其导数。以下是对常见复合导数公式的总结，并以表格形式展示。
一、复合导数的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，例如：
设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 是一个复合函数。
对这样的函数求导时，需要用到链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、常见复合导数公式总结
| 复合函数形式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = f(u) $，$ u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) $ | 链式法则基本形式 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的导数 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = a^{g(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x) $ | 底数为常数的指数函数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \sec^2(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \log_a(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x) \ln a} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数（底数为a） |
三、注意事项
1. 链式法则的应用是解决复合函数导数的关键，必须分清内外层函数。
2. 在实际应用中，可能需要多次使用链式法则，例如对于三层或更多层的复合函数。
3. 复合导数的计算过程中，保持每一步的清晰性非常重要，避免混淆导数的顺序。
通过掌握这些复合导数公式，可以更高效地处理复杂的函数求导问题。建议多做练习题，加深对链式法则的理解和运用能力。
