【常用的求导公式】在微积分的学习和应用中，求导是一个非常基础且重要的内容。掌握常见的求导公式，有助于快速计算函数的导数，为后续的积分、极值分析、曲线绘制等提供支持。以下是对常用求导公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数法则
在实际应用中，许多函数是复合函数或乘积、商的形式，因此需要使用以下法则：
1. 链式法则
若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x)v(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
五、总结
求导是微积分的核心内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式，不仅有助于解题效率的提升，还能增强对数学规律的理解。通过上述表格和法则的归纳，可以系统地复习和巩固基础知识，为更复杂的数学问题打下坚实的基础。
建议在学习过程中结合实例练习，加深对公式的理解和应用能力。
