【标准正态分布公式】标准正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，广泛应用于数据分析、质量控制、金融建模等多个领域。它是均值为0，标准差为1的正态分布，通常用符号 $ Z \sim N(0, 1) $ 表示。以下是对标准正态分布公式的总结与相关参数的整理。
一、标准正态分布的基本定义
标准正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数（PDF）如下：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, \quad -\infty < z < \infty
$$
其中：
- $ z $ 是随机变量；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于2.71828）；
- $ \pi $ 是圆周率（约等于3.14159）。
该函数描述了在标准正态分布下，随机变量取某个值的概率密度。
二、标准正态分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 对称性 | 关于 y 轴对称 |
| 概率密度曲线形状 | 钟形曲线，单峰 |
| 累积分布函数（CDF） | $ P(Z \leq z) = \Phi(z) $ |
三、标准正态分布的累积分布函数（CDF）
标准正态分布的累积分布函数（CDF）表示随机变量小于或等于某个值 $ z $ 的概率，记作：
$$
\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$$
这个积分没有解析解，通常通过查表或使用计算器、软件（如Excel、R、Python等）来计算。
四、常用概率值（Z 分数对应的概率）
| Z 值 | 概率 P(Z ≤ z) |
| -3.0 | 0.0013 |
| -2.0 | 0.0228 |
| -1.0 | 0.1587 |
| 0.0 | 0.5000 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 3.0 | 0.9987 |
这些数值说明了在标准正态分布中，随机变量落在特定范围内的概率。
五、实际应用中的转换
在实际问题中，若原始数据服从一般正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则可以通过以下方式将其标准化为标准正态分布：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
这样，就可以利用标准正态分布的性质进行概率计算和假设检验。
六、总结
标准正态分布是统计分析的基础工具之一，具有对称性、可标准化、易于计算等优点。掌握其公式和性质有助于理解和应用各种统计方法。在实际操作中，常通过查表或软件计算其概率值，以支持数据分析和决策过程。
关键词：标准正态分布、概率密度函数、累积分布函数、Z 分数、正态分布转换
