在数学和物理学中，向量积（也称为叉积）是一种定义在三维空间中的两个向量之间的运算。它不仅保留了向量的基本特性，还引入了一种新的几何解释，这使得它在多个领域具有重要的应用价值。

首先，让我们回顾一下向量积的基本定义。给定两个三维向量A = (a₁, a₂, a₃)和B = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积C = A × B也是一个三维向量，其分量可以通过行列式计算得到：

C = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

从这个公式可以看出，向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原始的两个向量A和B。具体来说，C的方向遵循右手定则：如果你将右手的手指从A的方向转向B的方向，那么大拇指所指的方向就是C的方向。

接下来，我们探讨向量积的几何意义。向量积的一个核心性质是它的大小与两个向量所构成平行四边形的面积成正比。更确切地说，|C| = |A||B|sinθ，其中θ是A和B之间的夹角。这意味着，当两个向量之间的角度增大时，它们的向量积的大小也会相应增加，直到达到最大值|A||B|（即两个向量垂直的情况）。

此外，向量积的方向提供了关于两个向量相对位置的重要信息。通过观察向量积的方向，我们可以判断两个向量是否共面或相互独立。如果向量积为零向量，则说明A和B共线；否则，它们构成了一个三维空间中的有效基底。

在实际应用中，向量积广泛应用于物理、工程以及计算机图形学等领域。例如，在力学中，力矩可以被描述为作用点相对于旋转轴的位移向量与力向量的向量积；而在计算机图形学中，法向量的计算通常依赖于表面顶点之间的向量积。

综上所述，向量积不仅仅是一种代数运算，它还蕴含着丰富的几何意义。通过对向量积的研究，我们可以更好地理解三维空间中的几何关系，并将其应用于解决各种实际问题。因此，深入掌握向量积的概念及其几何意义对于学习更高层次的数学和科学知识至关重要。