在数学领域中，共轭复根是一种常见的现象，特别是在解决二次方程时。当我们遇到形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的二次方程时，如果判别式 \( D = b^2 - 4ac < 0 \)，那么该方程将有两个共轭复根。这两个根通常表示为 \( \alpha \) 和 \( \beta \)，它们具有以下形式：
\[
\alpha = p + qi, \quad \beta = p - qi
\]
其中，\( p \) 和 \( q \) 是实数，\( i \) 是虚数单位（满足 \( i^2 = -1 \)）。接下来，我们将详细探讨如何求解这两个共轭复根。
第一步：计算判别式
首先，我们需要计算判别式的值 \( D \)。根据公式：
\[
D = b^2 - 4ac
\]
如果 \( D < 0 \)，则说明方程有共轭复根。
第二步：确定实部和虚部
一旦判别式小于零，我们可以通过以下公式分别计算实部 \( p \) 和虚部 \( q \)：
\[
p = -\frac{b}{2a}, \quad q = \sqrt{\left| \frac{D}{4a^2} \right|}
\]
这里，\( p \) 是两根的平均值，而 \( q \) 表示根之间的虚数部分的大小。
第三步：写出共轭复根
最后，利用上述计算得到的 \( p \) 和 \( q \)，我们可以写出两个共轭复根：
\[
\alpha = p + qi, \quad \beta = p - qi
\]
例如，考虑方程 \( x^2 + 4x + 5 = 0 \)。首先计算判别式：
\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
\]
由于 \( D < 0 \)，存在共轭复根。接下来计算 \( p \) 和 \( q \)：
\[
p = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2, \quad q = \sqrt{\left| \frac{-4}{4 \cdot 1^2} \right|} = \sqrt{1} = 1
\]
因此，共轭复根为：
\[
\alpha = -2 + i, \quad \beta = -2 - i
\]
通过这种方法，我们可以系统地找到任何二次方程的共轭复根。希望这些步骤能够帮助你更好地理解和解决类似问题！
