在几何学中，两直线之间的关系是一个经典的研究课题。当两条直线既不平行也不相交时，它们被称为异面直线。此时，我们通常会讨论这两条直线之间的最短距离，即它们之间的垂直距离。那么，如何计算两直线之间的距离呢？这便是本文要探讨的核心问题。
一、公式推导背景
假设我们有两条空间中的直线 \(L_1\) 和 \(L_2\)，分别由参数方程表示为：
\[
L_1: \mathbf{r}_1(t) = \mathbf{a}_1 + t\mathbf{b}_1, \quad t \in \mathbb{R}
\]
\[
L_2: \mathbf{r}_2(s) = \mathbf{a}_2 + s\mathbf{b}_2, \quad s \in \mathbb{R}
\]
其中，\(\mathbf{a}_1\) 和 \(\mathbf{a}_2\) 是直线上某一点的位置向量，而 \(\mathbf{b}_1\) 和 \(\mathbf{b}_2\) 则是直线的方向向量。
为了求解两直线之间的距离，我们需要找到一条同时垂直于两条直线方向向量的线段，这条线段的长度就是两直线之间的最短距离。
二、两直线间距离公式的表达
根据几何原理，两直线之间的距离公式可以表示为：
\[
d = \frac{|(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) \cdot (\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2)|}{|\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2|}
\]
其中：
- \((\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)\) 表示从 \(L_1\) 上的一点到 \(L_2\) 上的一点的向量；
- \(\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2\) 是两条直线方向向量的叉积，它决定了垂直于两直线的方向；
- \(\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2\) 的模长表示了叉积向量的大小，用于归一化计算；
- 分子部分表示向量 \((\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)\) 在叉积方向上的投影长度。
三、实际应用举例
假如已知两条直线的参数方程分别为：
\[
L_1: \mathbf{r}_1(t) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0), \quad t \in \mathbb{R}
\]
\[
L_2: \mathbf{r}_2(s) = (0, 1, 1) + s(0, 1, -1), \quad s \in \mathbb{R}
\]
则 \(\mathbf{a}_1 = (1, 0, 0)\)，\(\mathbf{b}_1 = (1, 1, 0)\)，\(\mathbf{a}_2 = (0, 1, 1)\)，\(\mathbf{b}_2 = (0, 1, -1)\)。
计算叉积 \(\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2\)：
\[
\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= (-1, 1, 1)
\]
其模长为：
\[
|\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
\]
再计算分子部分：
\[
(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) = (-1, 1, 1)
\]
\[
(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) \cdot (\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2) = (-1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = 3
\]
因此，两直线之间的距离为：
\[
d = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
\]
四、总结
通过上述推导和实例分析，我们可以清晰地看到，两直线间的距离公式本质上依赖于叉积和向量投影的结合。这一公式不仅具有理论价值，还广泛应用于工程、物理及计算机图形学等领域。希望本文能帮助读者更好地理解这一重要的几何概念！
