在数学中，等比数列是一种非常重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值恒定。等比数列的求和公式在解决许多实际问题时具有重要作用。下面我们来推导等比数列的求和公式。

假设我们有一个等比数列 {a, ar, ar², ar³, ..., ar^(n-1)}，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。我们需要找到这个数列所有项的和 S_n。

首先，设 S_n 为该数列的前 n 项和：

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-1)

接下来，我们将等式两边同时乘以公比 r：

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n

现在，我们用第一个等式减去第二个等式：

S_n - rS_n = (a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-1)) - (ar + ar² + ar³ + ... + ar^n)

这将简化为：

(1 - r)S_n = a - ar^n

进一步整理得到：

S_n = (a(1 - r^n)) / (1 - r), 当 r ≠ 1

这就是等比数列求和公式的基本形式。如果 r = 1，则每个项都等于首项 a，因此总和 S_n 就是 n a。

通过这个推导过程，我们可以清楚地看到等比数列求和公式的来源。这一公式在金融计算、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。例如，在计算复利增长或衰减过程中，等比数列及其求和公式扮演着关键角色。

希望这个推导过程能够帮助大家更好地理解等比数列求和公式的原理。通过掌握这一公式，我们可以更高效地解决涉及等比数列的实际问题。