在物理学中，机械能守恒定律是一个非常重要的概念。它描述了在一个封闭系统内，如果没有外力或非保守内力做功的情况下，系统的总机械能保持不变。机械能通常由动能和势能组成。为了更好地理解这一原理，我们可以通过数学推导来验证其成立。

首先，我们定义动能 \( E_k \) 和势能 \( E_p \) 分别为：

\[

E_k = \frac{1}{2}mv^2

\]

\[

E_p = mgh

\]

其中：

- \( m \) 是物体的质量，

- \( v \) 是物体的速度，

- \( g \) 是重力加速度，

- \( h \) 是物体的高度。

在理想情况下，假设没有摩擦或其他形式的能量损耗，那么系统的总机械能 \( E \) 可以表示为：

\[

E = E_k + E_p

\]

接下来，我们将通过微积分的方法来证明机械能守恒。假设一个物体从初始位置 \( A \) 运动到最终位置 \( B \)，在这个过程中，只有重力做功。根据能量守恒定律，我们可以写出以下关系式：

\[

W_{\text{重力}} = \Delta E_k + \Delta E_p

\]

其中 \( W_{\text{重力}} \) 表示重力所做的功。由于重力是保守力，它的功只与路径无关，而仅与初末状态有关。因此，可以表示为：

\[

W_{\text{重力}} = -mgh

\]

将动能和势能的变化代入上式，得到：

\[

-mgh = \left( \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \right) + \left( mgh_B - mgh_A \right)

\]

整理后可得：

\[

0 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgh_B - \left( \frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A \right)

\]

这表明，在整个运动过程中，系统的总机械能 \( E \) 始终保持不变，即：

\[

E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{常数}

\]

通过上述推导可以看出，在忽略其他外力作用的情况下，机械能确实守恒。这个结论不仅适用于自由落体运动，还可以推广到更复杂的物理情景中，比如弹簧振子等。

总结来说，机械能守恒定律是自然界的基本规律之一，它帮助我们理解和预测许多自然现象。通过对动能和势能变化的分析，我们可以清楚地看到为什么在某些条件下机械能能够保持不变。这种深入的理解对于解决实际问题具有重要意义。